Fenchelkonjugatet

Fenchelkonjugatet er en transformation anvendt i konveks analyse og optimering, også kaldet Legendre-Fenchel-transform. Den tager en funktion f: R^n → R ∪ {+∞} og returnerer en ny funktion f*: R^n → R ∪ {+∞}, defineret ved f*(y) = sup_x { ⟨y, x⟩ − f(x) }, hvor ⟨y, x⟩ er den indre produkt mellem y og x.

Egenskaber og rolle

Fenchelkonjugatet er altid konveks, fordi det er supremummet af lineære funktioner i y. Hvis f er ordentlig (proper) og lavt kontinuert (lower semicontinuous) samt konveks, er f* også ordentlig og lavt kontinuert, og der opnås en tæt forbindelse mellem f og f via biconjugatet f**. Ifølge Fenchel-Moreau-sætningen gælder f = f** for enhver ordentlig lsc konveks funktion f. En vigtig relation mellem f og f* findes gennem undergradienter: y ∈ ∂f(x) hvis og kun hvis x ∈ ∂f*(y).

Eksempler

For f(x) = 1/2 ∥x∥^2 er f*(y) = 1/2 ∥y∥^2. For f ≡ 0 er f*(y) = 0 hvis y = 0 og +∞ ellers, hvilket er en indikatorfunktion for {0}. Hvis f er en indikatorfunktion af en sæt C (f(x) = 0 for x ∈ C, ellers ∞), så er f*(y) det, der kaldes støttefunktionen σ_C(y) = sup_{x∈C} ⟨y, x⟩.

Anvendelser

Fenchelkonjugatet bruges til at etablere dualitetsrelationer i optimering, til konstruktion af konveksgenuelle løsninger, og i udviklingen af algoritmer såsom dualbaserede metoder og proximal-algoritmer.