solvabilitetsproblemet

Solvabilitetsproblemet är inom algebra frågan om ett givet polynom f(x)=0 över ett fält F kan lösas med radikaler, det vill säga uttryckas genom element ur F tillsammans med en avslutad kedja av operationer som involverar n-te rötter och övriga aritmetiska operationer. Ett polynom anses solvbart av radikaler om varje rot kan uttryckas i ett sådant uttryck.

Historik och teoretisk kärna: För polynom av grad två, tre och fyra finns allmänna formler för lösning i radikaler (kvadratiska, kubiska och quartiska metoder). Abel visade 1824 att den allmänna polynomen av grad fem inte kan lösas med radikaler. Den moderna förståelsen utvecklades med Galois-teorin, som kopplar solvabilitet till gruppstrukturen: ett polynom är lösbart med radikaler om och endast om dess Galois-grupp över F är en lösbar grupp.

Konsekvenser och betydelse: Teoremet förklarar varför kvintiska polynom i allmänhet saknar radikallösningar, medan polynom av grad ≤ 4 är solvabla. Galois-teorin utgör kärnan i modern algebra och används i algoritmer för polynomlösning och i studier av symmetrier hos algebraiska rötter samt i fältteori och number theory.

Moderna perspektiv: Begreppet utvidgas till polynom över olika fält och till fältförvärv, samt till algoritmisk beslutsproblematik i datoralgebra. Trots allmängiltigheten används radikala lösningar i särskilda fall och som teoretiskt ramverk för förståelse av lösbarhet.

Se även: Galois-teori, Abel–Ruffini-teoremet, lösbar grupp, polynomlösning.