solvabiliteettia

Solvabiliteetti, tai solvability, on käsite matematiikassa, jolla tarkoitetaan kykyä ratkaista jokin ongelma tietyn rakenteen tai menetelmän avulla. Yleisimmissä merkityksissä tarkastelu kohdistuu kahteen suureen alaan: polynomien solvabiliteettiin radikaaleilla ja ryhmien solvabiliteettiin.

Polynomien solvabiliteetti radikaaleilla. Olkoon f(x) polynomi kentässä K. f on solvable radikaaleilla, jos sen juuret voidaan esittää kentän operaatioiden ja n-juurien avulla. Galois-teorian mukaan ratkaisut radikaaleilla ovat mahdollisia, jos polynomin Galois-ryhmä Gal(f/K) on solvable. Esimerkiksi kaikki polynomit, joiden aste on korkeintaan neljä, ovat ratkeavat radikaaleilla. Yleisen kvintisen polynomin tapauksessa ratkaiseminen radikaaleilla ei ole mahdollista yleisesti, ja jotkut kvintiset polynomit eivät ole ratkaistavissa radikaaleilla.

Ryhmäsolvabiliteetti. Ryhmä G on solvable, jos sillä on jono normaalilaisia aliryhmiä {e}=G0 ⊲ G1 ⊲ ... ⊲ Gr = G, ja jokainen Gi+1/Gi on abelilainen. Vaihtoehtoisesti voidaan määritellä derivointisarja G^(0)=G, G^(i+1)=[G^(i), G^(i)], ja jossain vaiheessa G^(n) = {e}. Abelialaiset ja nilpotentit ryhmät ovat solvableita; kaikki solvableit ryhmät eivät ole nilpotentteja.

Yhteys: polynomin solvabiliteetti radikaaleilla on sama kuin sen Galois-ryhmän solvabiliteetti. Tämä mahdollistaa ratkaisujen rakenteen ymmärtämisen ja Galois-teorian soveltamisen.

Historia: Käsite kehittyi 1830-luvulla Évariste Galois'n ja R. J. Ruffinin työn kautta. Se selittää, miksi yleisen kvintisen ratkaiseminen radikaaleilla on mahdotonta. Nykyään solvabiliteettia käytetään laajasti algebraan, number theoryyn ja rakenteelliseen matematiikkaan.