skalárszorosnak

A skalárszorosnak, más néven skaláris szorzatnak vagy belső szorzatnak, egy olyan matematikai művelet, amely két azonos dimenziójú vektort vesz igénybe, és egyetlen skalár értéket ad eredményül. Két vektor, az 'a' és a 'b' skalárszorosát a következőképpen jelöljük: a ⋅ b.

A skaláris szorzat kiszámításának két fő módja van. Az egyik módszer a vektorok komponenseinek szorzatösszegéből áll. Ha az 'a' vektor komponensei a₁, a₂, ..., a<0xE2><0x82><0x99> és a 'b' vektor komponensei b₁, b₂, ..., b<0xE2><0x82><0x99>, akkor a skalárszorzat: a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a<0xE2><0x82><0x99>b<0xE2><0x82><0x99>.

A másik módszer a vektorok nagyságának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatát használja. Ha |a| a 'a' vektor nagysága, |b| a 'b' vektor nagysága, és θ a két vektor által bezárt szög, akkor a skalárszorzat: a ⋅ b = |a||b|cos(θ).

A skaláris szorzat fontos tulajdonságokkal rendelkezik. Kommutatív, azaz a ⋅ b = b ⋅ a. Disztributív az összeadásra nézve, azaz a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c. Ezenkívül egy skalárral szorozva is disztributív: (ka) ⋅ b = k(a ⋅ b) = a ⋅ (kb), ahol 'k' egy skalár.

A skaláris szorzatnak számos alkalmazása van a fizikában, például a munka kiszámításánál (erő ⋅ elmozdulás), valamint a vektorok merőlegességének vizsgálatánál. Ha két vektor skalárszorzata nulla, akkor a vektorok merőlegesek egymásra.