sisätuloavaruuksista

Sisätuloavaruus on vektoriavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Sisätulo on funktio, joka ottaa kaksi vektoria ja palauttaa skalaarin. Se yleistää tutun pistetulon käsitteen useampiulotteisiin avaruuksiin. Sisätulo määrittää avaruudelle geometrisia ominaisuuksia, kuten vektorien pituudet ja niiden väliset kulmat.

Oletetaan, että V on vektoriavaruus reaali- tai kompleksilukujen yli. Sisätulo on kuvaus $< \cdot, \cdot > : V \times V \to \mathbb{R}$ (tai $\mathbb{C}$), joka täyttää seuraavat ehdot kaikille vektoreille u, v, w $\in$ V ja kaikille skalaareille c:

1. Lineaarisuus ensimmäisessä argumentissa: $<cu + v, w> = c<u, w> + <v, w>$

2. Hermiittisyys (tai symmetrisyys kompleksisessa tapauksessa): $<u, v> = \overline{<v, u>}$ (kompleksisessa tapauksessa), $<u, v> = <v, u>$ (reaalisessa tapauksessa)

3. Positiivinen definiittisyys: $<v, v> \geq 0$ ja $<v, v> = 0$ jos ja vain jos $v = 0$.

Sisätuloavaruuksien avulla voidaan määritellä vektorin normi eli pituus kaavalla $||v|| = \sqrt{<v, v>}$. Kahden vektorin välinen kulma $\theta$ voidaan määrittää kaavalla $\cos \theta = \frac{<u, v>}{||u|| ||v||}$. Vektorit ovat ortogonaalisia, jos niiden sisätulo on nolla.

Tunnettuja esimerkkejä sisätuloavaruuksista ovat euklidiset avaruudet $\mathbb{R}^n$ pistetulolla ja funktioavaruudet sopivasti määritellyllä sisätulolla, kuten $L^2$-avaruudet. Sisätuloavaruuksilla on keskeinen rooli monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten lineaarialgebrassa, funktionaalianalyysissä ja kvanttimekaniikassa. Ne mahdollistavat geometristen käsitteiden laajentamisen abstraktimpiin yhteyksiin.