Sisätuloavaruuksien

Sisätuloavaruus on vektoriavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Sisätulo on operaatio, joka ottaa kaksi vektoria ja palauttaa skalaarin. Se yleistää tutun pistetulon käsitteen. Sisätulon avulla voidaan määritellä etäisyys, kulma ja pituus vektoriavaruudessa.

Vektoriavaruus V on sisätuloavaruus, jos sille on määritelty kuvaus $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{R}$ (tai $\mathbb{C}$ kompleksisille avaruuksille), joka täyttää seuraavat ehdot kaikille vektoreille u, v, w $\in$ V ja kaikille skalaareille c:

1. Lineaarisuus ensimmäisen argumentin suhteen: $\langle cu + v, w \rangle = c\langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle$.

2. Symmetrisyys (tai Hermiten konjugaatti kompleksisille avaruuksille): $\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}$. Reaalisten avaruuksien tapauksessa tämä on $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$.

3. Positiivinen definiittiisyys: $\langle v, v \rangle \ge 0$ ja $\langle v, v \rangle = 0$ jos ja vain jos $v$ on nollavektori.

Eräs yleinen esimerkki sisätuloavaruudesta on $\mathbb{R}^n$, jossa sisätulo määritellään tavallisena pistetulona: $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^n u_i v_i$. Toinen esimerkki on funktioavaruus, jossa sisätulo voidaan määritellä integraalina. Sisätuloavaruudet ovat perustavanlaatuisia monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten lineaarialgebrassa, funktioteoriassa ja kvanttimekaniikassa. Niiden avulla voidaan esimerkiksi rakentaa ortogonaalisia kantoja ja ratkaista differentiaaliyhtälöitä.