sisätuloavaruudesta

Sisätuloavaruus on vektoriavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Sisätulo on operaatio, joka ottaa kaksi vektoria ja palauttaa skalaarin. Se on yleistys pistetulosta, joka tunnetaan euklidisista avaruuksista. Sisätulo täyttää tietyt ehdot: se on bilineaarinen, symmetrinen ja positiivisesti määritelty. Bilineaarisuus tarkoittaa, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen ja toisen argumenttinsa suhteen. Symmetrisyys tarkoittaa, että kahden vektorin sisätulo on sama riippumatta niiden järjestyksestä. Positiivisesti määritelty tarkoittaa, että vektorin itsensä sisätulo on aina ei-negatiivinen ja nolla vain, jos vektori on nollavektori.

Sisätuloavaruuksien avulla voidaan määritellä useita tärkeitä käsitteitä, kuten vektorin normi eli pituus ja kahden vektorin välinen kulma. Vektorin normi saadaan ottamalla sen itsensä sisätulon neliöjuuri. Kahden vektorin välinen kulma voidaan määrittää käyttämällä sisätuloa ja vektoreiden normeja kosinia avulla. Sisätuloavaruuksia käytetään laajasti matematiikassa, fysiikassa ja insinööritieteissä. Esimerkiksi Fourier-analyysi ja kvanttimekaniikka perustuvat sisätuloavaruuksien ominaisuuksiin. Ne ovat perusta monille lineaarialgebran tuloksille ja toimivat pohjana monimutkaisempien matemaattisten rakenteiden kehittämiselle.