sinusoidisarjoihin

Sinusoidisarjoihin viitataan yleisesti tapaan esittää tai analysoida periodisiä signaaleja summana sinimuotoisia aaltomuotoja eri taajuuksilla, vaiheilla ja amplituudeilla. Tämä periaate tunnetaan Fourier-sarjana. Jos signaali on 2π-periodinen, sen voi kirjoittaa muotoon f(t) = a0/2 + ∑_{n=1}^∞ [a_n cos(n ω0 t) + b_n sin(n ω0 t)], missä ω0 on perustaajuus, ω0 = 2π/T.

Kerääminen ja koeffisientit: sinusoidisarjan kertoimet määritellään signaalista integroiden yhden jakson yli. a_n = (2/T) ∫_{0}^{T} f(t) cos(n ω0 t) dt, b_n = (2/T) ∫_{0}^{T} f(t) sin(n ω0 t) dt. Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää kompleksimuotoa f(t) = ∑_{n=-∞}^{∞} c_n e^{i n ω0 t}, missä c_n = (1/T) ∫_{0}^{T} f(t) e^{-i n ω0 t} dt. Näin perinteinen sinusoidi- ja aaltojen sarja mahdollistaa signaalin erittelyn tai rekonstruoinnin.

Sovellukset ja rajoitukset: sinusoidisarjoja käytetään laajasti signaalin analyysiin ja suodattamiseen, akustiikkaan sekä elektroniikkaan. Fourierin lähestymistapa yhdistää ajassa esiintyvät muutokset taajuuksiin, mahdollistaen spektrin tarkastelun. Konvergensio-ongelmat voivat ilmetä erityisesti epäjatkuvista signaaleista johtuen, ja Gibbs-ilmiö aiheuttaa kaksinkertainen ylivuoton signaalissa. Fourierin menetelmät ovat olleet keskeisiä joidenkin 1800-luvun alun tutkimusten jälkeen, ja ne muodostavat perustan sekä perus- että soveltavalle signaalinkäsittelylle.