siirtofunktiosta

Siirtofunktio on käsite lineaariselle aikainvariantille (LTI) järjestelmälle, joka kuvaa sen vasteen syötteen ja ulosteen välillä Laplace-tilassa. Siirtofunktio määritellään G(s) = Y(s)/U(s), kun järjestelmän alkuperäiset tilat ovat nollia.

Matematiikassa siirtofunktio voidaan ilmaista polynomina: G(s) = N(s)/D(s), missä N ja D ovat polynomeja. Jos järjestelmä voidaan kuvata lineaarisella differential equation, D(s) = a_n s^n + ... + a_0 ja N(s) = b_m s^m + ... + b_0. Diskreetissa ajassa vastaava muoto on G(z) = Y(z)/U(z) Z-transformin avulla.

Vasteen ja syötteen välinen yhteys ilmenee konvoluution kautta y(t) = ∫ h(τ)u(t−τ)dτ, jossa h(t) on impulsvaste ja on siirtofunktion käänteinen Laplace-muunnos. Impulsvaste ja siirtofunktio ovat toistensa transformaatioita Laplacessa.

Ominaisuudet: Siirtofunktion napojen ja nollien sijainti määrittelee vasteen ominaisuudet. Vakautuminen (BIBO-stabiilius) tarkoittaa, että napojen sijainnin real part on negatiivinen jatkuvassa ajassa, tai diskreetissä ajassa napojen modulus on pienempi kuin 1. Järjestelmän voi esittää myös tilan tilakuvana: G(s) = C(sI − A)^{-1}B + D.

Sovellukset: Siirtofunktiota käytetään järjestelmien analyysiin ja suunnitteluun, kuten suodattimien ja kontrollijärjestelmien suunnitteluun sekä signaalin prosessointiin. Se toimii yhteisenä työkaluna differentiaaliyhtälöiden ja tilayhtälöiden välillä.

Esimerkki: RC-piiri, jossa G(s) = 1/(RC s + 1). Tämän avulla voidaan arvioida piirin vaste eri syötteille sekä määrittää aikavakio ja dynamiikka.