satunnaisuuselementin

Satunnaisuuselementti on tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa käytetty käsite, jolla mallinnetaan sattumanvaraisia kohteita, joiden arvot asettuvat johonkin mitattavaan tilaan. Se on mitattava kuvaus X: Ω → E, missä (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus ja (E, 𝔈) on mitattava tila. X:n on oltava mitattavilla tilojen σ-hajonnalla; käytännössä X^{-1}(B) ∈ F kaikille B ∈ 𝔈.

Satunnaisuuselementin laki eli jakautuma on push-forward-määrä P_X on 𝔈: P_X(B) = P(X^{-1}(B)) kaikille B ∈ 𝔈. Tämä määrittää X:n arvojen todennäköisyyksien jakauman tilassa E. Kun E on ℝ ja 𝔈 on Borel-sigma-hajonta, satunnaisuuselementti on sama asia kuin tavallinen satunnaismuuttuja.

Esimerkkejä: X qui Ω → ℝ on real-valued random element; X: Ω → ℝ^n on vektorinen satunnaisuuselementti; X: Ω → C([0,1], ℝ) voi olla funktiopaljousaaltoja sisältävä satunnaisuuselementti. Satunnaisuuselementtejä käytetään laajasti stokastisissa prosesseissa, satunnaiskentissä sekä funktionaalisessa datassa.

Riippuvuudet: useampia satunnaisuuselementtejä X_i: Ω → E_i voidaan käsitellä yhdessä; niiden yhteisjakautuma määritellään kyseisten X_i:n jakaumien yhteispitämisen perusteella. Mikäli E_i ovat mitattavia tiloja, riippuvuus määritellään yhteisjakautuman kautta.

Suhde satunnaismuuttujaan: kun E = ℝ ja 𝔈 on B(ℝ), X on käytännössä satunnaismuuttuja. Satunnaisuuselementti on yleisempi käsite, joka kattaa monenlaiset arvot tilassa E.