satunnaisuuselementti

Satunnaisuuselementti on matematiikassa käytetty käsite, joka kuvaa satunnaisesti syntyvää arvoa tai tulosta mittauksesta. Se määritellään probability space -mallin puitteissa. Oletetaan todennäköisyysavaruus (Ω, F, P) ja mitattava tila (S, G). Satunnaisuuselementti X on mitattava kartoitus X: Ω → S, eli jokaiselle ω ∈ Ω annetulla tuloksella on arvo X(ω) S:ssä, ja X fatherisi kaikkien mittausten suhteen on mitattava.

X:n jakauma P_X on siirtojakauma S:ssä, määritelty siten, että P_X(B) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}) jokaisessa B ∈ G. Kun S = ℝ ja G on Borel-σ-hajonta, satunnaisuuselementti X on samalla kuin satunnaismuuttuja.

Satunnaisuuselementin tärkeimpiä ominaisuuksia ovat sen jakauma, odotusarvo ja varianssi, jos nämä ovat määriteltyjä. Jakauman avulla voidaan kuvata todennäköisyydet erilaisille arvoille. Odotusarvo ja muut momentit ovat määriteltyjä, kun X on integroitavissa.

Riippuvuudesta puhutaan, kun hallitaan useampaa satunnaisuuselementtiä X: Ω → S1 ja Y: Ω → S2. Ne ovat riippumattomia, jos yhteisjakauma määritellään tuotteena niiden marginaaleista. Yhteinen jakauma voidaan tilastollisesti tarkastella esimerkiksi konvergenssien kautta: konvergenssi jakauman, almost sure -konvergenssi tai Lp-konvergenssi.

Esimerkit: noppaa heitetään ja X antaa silmäluku, jolloin X on satunnaisuuselementti {1, ..., 6} → ℝ; toisenlaisen, reaaliluvun arvo voisi olla X(ω) = ω. Satunnaisuuselementti on perusta monille probabilisille malleille ja tilastollisille menetelmille.

---