satunnaisprosesseja

Satunnaisprosessi (monikko: satunnaisprosesseja) on joukko satunnaismuuttujia {X_t}_{t∈T}, jotka kuvaavat järjestelmän tilan kehityksen ajan kuluessa. Jokainen X_t on arvo tilan S joukosta ja prosessi määritellään samalla todennäköisyysavaruudella Ω. Pelkät yksittäiset arvot eivät riitä; tarkastellaan myös kaikkien valittujen aikojen vektoreita (esim. (X_{t1},…,X_{tn})). Prosessin avulla voidaan mallittaa monimutkaisia ajallisia ilmiöitä.

Prosessoja voidaan luokitella muun muassa a) ajan mukaan: diskreetti aika (T on esimerkiksi {0,1,2,…}) ja jatkuva aika (T ⊆ [0,∞)), b) homogeeninen vs inhomogeeninen (ominaisuudet riippuvat ajoista tai eivät), sekä c) ominaisuuksien mukaan kuten riippumattomat inkrementit tai Markovin ominaisuus. Yleisesti tarkastellaan inkrementteja X_{t+s}-X_t ja niiden jakaumia sekä riippuvuuksia.

Esimerkkejä satunnaisprosesseista ovat Poisson-prosessi, jossa tapahtumien määrä aikaikkunassa on Poisson-hajonnainen ja inkrementit ovat riippumattomia sekä stationaarisia; Wiener-prosessi eli Brownin liike, joka on jatkuva-aikainen, Gaussian-inkrementtinen ja identtisesti jakautunut inkrementteiltaan; sekä Markov-ketjut, jotka muistuttavat tulevaa tilaa vain nykytilasta riippumatta menneisyydestä.

Sovelluksia on laajasti: finanssihypoteesit ja arvopaperien hintojen modellointi, fysiikka ja biologia, telekommunikaatio sekä liikenne- ja jonotusteoriat. Satunnaisprosessien analyysi keskittyy sekä yksittäisten polkujen että useamman tilan jakaumien ja riippuvuuksien kuvaamiseen.

---