Satunnaisprosessien

Satunnaisprosessit ovat tilastollinen malli ajassa kehittyville epävarmoille systeemeille. Ne koostuvat perheestä satunnaismuuttujia X_t, t kuuluvasta jollekin ajalle T (yleensä diskreetti aikaväli N0 tai jatkuva aika [0, ∞)), määritelty yhdessä todennäköisyysavaruudessa (Ω, F, P). Jokaiselle ajalle t X_t kuvaa systeemin tilaa ja koko perheen yhteisjakauma kuvaa epävarvuuden ja riippuvuudet sen kehityksessä.

Tavallisesti T ja X_t muodostavat satunnaisprosessin, jonka ominaisuuksia voidaan kuvata tilavuudella, esimerkiksi odotusarvolla m(t) = E[X_t] ja covariance-kaiulla Cov(X_s, X_t). Prosessi voi olla stationaarinen, jolloin oikea- tai heikko stationaarisuus pätee, sekä muilta osin riippuvuutensa rakenteen mukaan. Yleisiä luokkia ovat diskreetti-ajan prosessit ja jatkuvan ajan prosessit. Varsinkin Markov-prosessit, joissa tuleva tila riippuu vain nykyisestä tilasta, sekä Gaussin prosessit, joiden kaikki otosjoukot ovat monimuuttujien normaalijakaumia, ovat keskeisiä esimerkkejä. Poisson-prosessi on tärkeä esimerkki kertymäprosessista, jossa tietyllä aikavälillä tapahtumien määrä on riippumaton ja noudattaa tasaista kasvua.

Sovelluksia on monentyyppisiä: rahoitusmallinnuksessa osakekursseja ja riskinhallintaa, signaalin- ja kuuntelumallinnuksessa, operaatioiden tutkimuksessa, fysiikassa ja biologiassa. Satunnaisprosessien tarkastelu ja estimointi keskeisiä tavoitteita ovat tilastollisten ominaisuuksien, parametereiden sekä riippuvuuksien ymmärtäminen ja niiden käyttöönotto päätöksenteossa.