sannsynlighetsregningen

Sannsynlighetsregningen er en gren av matematikken som studerer hvordan usikkerhet knyttet til tilfeldige hendelser kan måles, modelleres og analyseres. Den gir formelle beskrivelser av utfallsrommet og opphopning av hendelser, samt måter å tildele sannsynligheter til disse hendelsene. Hovedmålsettingen er å forutsi og kvantifisere hvor ofte visse utfall vil inntreffe i gjentatte forsøk eller i langsiktige observeringer.

Den moderne grunnmuren ble etablert av Kolmogorov i 1933, som formulerte sannsynlighet som en måling på et sigma-algebra over et utfallsrom. Ifølge aksiomene er P(A) ≥ 0 for alle hendelser A, P(utfallsrommet) = 1, og sannsynligheten for en union av disjunkte hendelser er lik summen av sannsynlighetene: P(∪ A_i) = Σ P(A_i).

En tilfeldig variabel X er en målelig funksjon fra utfallsrommet til de reelle tall. Fordelingen til X beskrives av sannsynlighetene for ulike verdier eller av en kumulativ fordelingsfunksjon. Viktige mål er forventning E[X] og varians Var(X).

Betinget sannsynlighet P(A|B) = P(A∩B)/P(B) for P(B) > 0. Hendelser er uavhengige hvis P(A∩B) = P(A)P(B). Bayes' teorem P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) knytter sammen kunnskap før og etter observasjon.

Vanlige fordelinger inkluderer binomial, Poisson, normal og uniform. Kontinuerlige og diskrete distribusjoner brukes i statistikk, natur- og samfunnsvitenskap, engineering og finans. Vesentlige resultater inkluderer loven om store tall og sentralgrenseteoremet, som beskriver oppførselen til sommer av tilfeldige variabler. Sannsynlighetsregningen anvendes i dataanalyse, simuleringer (for eksempel Monte Carlo), risiko- og beslutningsanalyse, maskinlæring og vitenskapelig forskning.