sadelpunkter

Sadelpunkter är punkter på ytan av en funktion där gradienten är noll men där punkten inte är en lokal extrempunkt. En saddelpunkt kännetecknas av att funktionsvärdet ökar i vissa riktningar och minskar i andra när man förflyttar sig från punkten.

Formellt gäller detta för en koncentrik funktion f: R^n -> R. Om ∇f(x*) = 0 och Hessianen ∇^2 f(x*) har både positiva och negativa egenvärden är x* vanligtvis en saddelpunkt. Om Hessianen däremot är positivt semidefinit eller negativt semidefinit, uppträder oftast en lokal extrempunkt (minimum respektive maximum); vid degenererade kritiska punkter (när Hessianen är singular) krävs högre ordningens villkor för avgöra naturen hos punkten.

I två dimensioner, f(x, y) = x^2 − y^2, har punkten (0, 0) en saddelpunkt eftersom funktionsvärdet ökar längs x-konturen och minskar längs y-konturen. Detta illustrerar den grundläggande egenskapen: funktionsytan lutar uppåt i vissa riktningar och nedåt i andra runt en saddelpunkt.

Sadelpunkter förekommer inte bara i ren matematisk analys utan också inom optimering, ekonomi och fysik. Inom spelteori är en saddelpunkt relevant för zero-sum-spel, där den motsvarar ett jämviktsläge i den linjära delen av spelets värdefunktion. Inom numerisk optimering kan saddelpunkter vara utmaningar för gradientbaserade metoder, eftersom sådana metoder kan konvergera till saddelpunkter istället för till lokala extrempunkter; olika strategier används därför för att särskilja eller undvika saddelpunktssituationer.