rácsokban

A rácsok olyan részrendelt halmazok, amelyeken bármely két elemre létezik a legnagyobb alsó határ (meet, jelölése ∧) és a legkisebb felső határ (join, jelölése ∨). A reláció által értelmezett részrendelés önmagában reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. Ha egy rácsban a két elemre mindig létezik mind a meet, mind a join, akkor azt rácsnak nevezzük. A rácsokban a műveletek a meet és a join, amelyek a struktúrát egységesen követik.

Speciális típusok közé tartozik a disztributív rács, ahol a meet és a join között a disztributivitási törvények érvényesek: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) és fordítva. Moduláris rácsoknál pedig a moduláris identitás teljesül: ha a ≤ c, akkor a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c. Boole-algebrák olyan distributív rácsok, amelyekben minden elemhez létezik komplement, és a top (1) és a bottom (0) elemek is értelmezettek; ezek a klasszikus logika algebrai modellei.

Jó példák közé tartozik a hatványhalmaz P(S) részhalmaz-relációval, ahol meet a metszet, join a Unió; az egész számok pozitív részhalmaza a osztók relációjában, ahol meet a gcd, join a lcm; továbbá a vektorterek alrészhalmazainak rácsa a metszet és az összeg közös értelmezésével. Más példák: a részekre bontások rácsa, illetve a nyitott halmazok topológiában.

A rácsokra matematikán belül homomorfizmusok értelmezhetők, amelyek megőrzik a meet és a join műveleteit. Alrácsok és faktor-rácsok révén további szerkezetek hozhatók létre. A rácsok fontos eszközök logikában, algebrában és a formális fogalomtudományban.