homomorfizmusok

Homomorfizmusok olyan leképezések két algebrai struktúra között, amelyek megőrzik a szerkezetekben definiált műveleteket. Ezek a leképezések az algebra számos területéhez tartozó, alapvető eszközei.

Formálisan: Ha A és B adott algebrai szerkezetek, f: A → B homomorfizmus, ha minden operációra fennáll a megőrzés. Például csoportok között egy f(xy) = f(x) f(y) teljesítése elég; additív csoportok között pedig f(x+y) = f(x) + f(y) a feltétel. Gyűrűk között f(a + b) = f(a) + f(b) és f(ab) = f(a) f(b) is legyenek, és gyakran f(1) = 1. Testek között a hasonló feltételek érvényesek, és az egység megőrzése gyakran része a definíciónak. Lineáris leképezések vektortereken egyaránt homomorfizmusok, mivel f(u+v) = f(u) + f(v) és f(cu) = cf(u).

Példák: f: Z → Z, f(n) = 2n csoport-homomorfizmus additív csoportok között. f: R* → R*, f(x) = x^2 multiplicatív csoport-homomorfizmus. Egy nemtriviális példa gyűrűk között: f: Z → Z/nZ a maradékkép modulo n.

Kiemelt fogalmak: a ker (mag) ker f = {g ∈ A | f(g) = e}, és a kép (im f) = f(A). Az első izomorfizmus-tétel szerint A/ker f ≅ im f. Ezek a formális eszközök lehetővé teszik a szerkezetek összehasonlítását és oszthatóságának megértését.

Típusok közé tartoznak a csoport-, gyűrű-, test- és modul-homomorfizmusok, továbbá a lineáris leképezések általános értelemben vett specializált példái. A homomorfizmusok a kategóriaelméletben morfizmusokként szolgálnak.