ryhmäteorioissa

Ryhmäteoriassa tutkitaan abstrakteja rakenteita, joita kutsutaan ryhmiksi. Ryhmä on joukko elementtejä yhdessä suljetulla binäärisellä operaatiolla, joka täyttää neljä aksioomaa: sulkeutumisen, assosiatiivisuuden, yksikköelementin ja käänteiselementin olemassaolon. Näitä aksioomia kutsutaan ryhmän määritelmäksi.

Ryhmäteoria on keskeinen osa algebraa ja sen sovelluksia löytyy monilta aloilta, kuten geometriasta, fysiikasta ja koodausteoriasta. Esimerkiksi symmetriat, kuten peilaukset ja käännökset, voidaan kuvata ryhmien avulla. Tällöin ryhmä kuvaa symmetrioiden yhdistelmien ominaisuuksia.

Ryhmän elementtien määrä on ryhmän kertaluku. Esimerkiksi syklinen ryhmä *Zₙ* koostuu n:stä elementistä, jotka edustavat kokonaislukujen modulo n laskutoimitusta. Toinen tärkeä ryhmätyyppi on abeeliryhmä, jossa operaation kommutatiivisuus on voimassa.

Ryhmäteorian keskeisiä käsitteitä ovat aliryhmät, kongruenssiluokat ja homomorfismi. Aliryhmä on ryhmän osajoukko, joka on itsessään ryhmä. Homomorfismi on ryhmien välinen kuvaus, joka säilyttää operaation. Jos homomorfismi on myös bijektio, sitä kutsutaan isomorfismiksi, ja sen avulla voidaan osoittaa ryhmien olevan samankaltaisia.

Ryhmäteoriaa sovelletaan myös fysiikassa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa, jossa symmetriaryhmät kuvaavat fysikaalisten systeemien ominaisuuksia. Ryhmäteoria on myös tärkeä työkalu kryptografiassa ja tietoturvassa, esimerkiksi symmetrisissä ja epäsymmetrisissä salausmenetelmissä.