rotasjonsformler

Rotasjonsformler, også kjent som rotasjonsmatriser eller rotasjonstransformasjoner, er matematiske verktøy brukt for å beskrive hvordan punkter eller vektorer endrer seg når de roteres i et koordinatsystem. Disse formlene er sentrale innen geometri, fysikk, datagrafikk og ingeniørfag, spesielt når det gjelder å analysere bevegelser og orienteringer i tre- eller treidimensjonale rom.

I to dimensjoner brukes en rotasjonsmatrise for å rotere et punkt (x, y) rundt origo med en vinkel θ. Den generelle rotasjonsformelen er gitt av:

x' = x·cos(θ) − y·sin(θ)

y' = x·sin(θ) + y·cos(θ)

Her representerer (x', y') det roterte punktet, mens cos(θ) og sin(θ) er trigonometriske funksjoner av rotasjonsvinkelen. Matrisen for denne transformasjonen kan skrives som:

[ cos(θ) −sin(θ) ]

[ sin(θ) cos(θ) ]

I tre dimensjoner blir rotasjonen mer kompleks, da den krever en rotasjonsakse og en vinkel. Rotasjonsmatrisen for rotasjon rundt en av aksene (x, y eller z) kan utledes ved å bruke trigonometriske identiteter. For eksempel, rotasjon rundt z-aksen med vinkel θ følger samme prinsipp som i to dimensjoner, mens rotasjon rundt x- eller y-aksen krever mer kompliserte formler som involverer flere trigonometriske termer.

Rotasjonsformler er også grunnleggende for å forstå komposisjon av bevegelser, der flere rotasjoner eller transformasjoner kan kombineres ved hjelp av matrisemultiplikasjon. Dette er nyttig i applikasjoner som robotikk, computeranimasjon og grafisk design, hvor objekter må manipuleres i rommet. Formlene er også sentrale innen fysikk for å beskrive rotasjonsbevegelser og dynamikk.