rotasjonsmatriser

Rotasjonsmatriser er kvadratiske matriser som beskriver en rotasjon av vektorer i et euklidisk rom. De representerer lineære operatorer som bevarer lengde og vinkler, slik at objekter roterer uten å strekke eller deformeres. En rotasjonsmatrise A er ortogonal (A^T A = I) og har determinant lik +1. Følgelig har den inversen A^{-1} = A^T, og transformasjonen bevarer både norm og indre produkt.

I to dimensjoner er en rotasjon rundt origo gitt av R(θ) = [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]. Komposisjon av rotasjoner tilsvarer multiplikasjon av matriser: R(θ1) R(θ2) = R(θ1 + θ2). Rotasjonsmatriser i 2D tilhører gruppen SO(2).

I tre dimensjoner finnes rotasjoner rundt x-, y- og z-aksene, med standardmatriser:

R_x(α) = [[1,0,0],[0, cos α, -sin α],[0, sin α, cos α]],

R_y(β) = [[cos β,0, sin β],[0,1,0],[-sin β,0, cos β]],

R_z(γ) = [[cos γ, -sin γ, 0],[sin γ, cos γ, 0],[0,0,1]].

En generell 3D-rotasjon kan beskrives ved axis-angle eller ved Euler- eller rotasjonsvektor. Rodrigues' formel gir R for en enhetsakse k og vinkel φ: R = I cos φ + (1 − cos φ) kk^T + sin φ K, der K er kryssproduktmatrisen til k.

Rotasjonsmatriser brukes blant annet i datagrafikk, robotikk, navigasjon og fysikalske simuleringer. De gir en stabil og reversibel måte å rotere vektorer og koordinatsystemer på uten å introdusere gimbal-lås ved riktig parametrisering.