rotasjonsmatrise

Rotasjonsmatrise er en kvadratisk matrise som representerer en rotasjon av vektorer i et rom (vanligvis det tredimensjonale E3). En rotasjonsmatrise R transformerer en vektor x til x' = R x og bevarer lengde og vinkler mellom vektorer. Dette gjør at lengder og indre produkter ivaretas under rotasjonen.

I to dimensjoner er en rotasjon med vinkel theta gitt ved R(theta) = [ [cos theta, -sin theta], [sin theta, cos theta] ]. I tre dimensjoner kan en rotasjon være rundt en akse u med enhetslengde. En utforming av R ved bruk av Rodrigues’ formel: R = I cos theta + (1 − cos theta) u u^T + [u]_x sin theta, der [u]_x er den skjeve kryssproduktmatrisen til u.

Egenskaper: En rotasjonsmatrise er ortogonal (R^T R = I) og har determinant 1, noe som betyr at den bevarer orientering og avstand. Inversen er lik transponeren: R^{-1} = R^T. Rotasjonsmatriser tilhører gruppen SO(n) ( spesiell ortogonal gruppe), som er lukket under multiplikasjon og inkrementell sammensetning av rotasjoner.

Representasjoner: Rotasjoner kan parametriseres på flere måter, for eksempel ved Euler-verdier, ekstrinsiske eller intrinsiske rotasjoner og ved hjelp av kvaternioner. Euler-angrepsvinkler kan føre til konfigurasjonsproblemer kjent som gimbal-låsing i enkelte applikasjoner, mens kvaternioner gir en kompakt, ustabilitetsfri representasjon av orientering.

Anvendelser: Rotasjonsmatriser brukes bredt i grafikk og visualisering, robotikk, romfart, fysikk og ingeniørvitenskap for å beskrive endringer i orientering mellom koordinatsystemer eller objekter. Numeriske beregninger må ofte håndtere avrundingsfeil og behov for stabilisering ved sammensatte rotasjoner.