reaalifunktioita

Reaalifunktio on funktio, jonka määrittelyjoukko on osa reaalilukuja ja jonka arvot ovat reaaleja. Yleensä kirjoitetaan f: D ⊆ R → R, missä D on jokin ala- tai kokonaisjoukko R:stä. Esimerkkejä ovat f(x) = x^2, f(x) = sin x, f(x) = e^x sekä f(x) = log x (x > 0). Joillekin funktiolle määrittelykieli voi olla laajempi tai suppeampi kuin koko R.

Keskeisiä käsitteitä reaalifunktioiden yhteydessä ovat jatkuvuus, derivointi ja integraatio. Jatkuvuus tarkoittaa, että funktion arvo pysyy läheisen syötteen pienissä muutoksissa; tarkemmin, raja f(x) x→x0 on f(x0). Derivointi kuvaa tangenttisuoraa tai nopeutta changea arvossa ja määritellään kohtisuorasti pisteessä x0, mikäli raja f(x)−f(x0) / (x−x0) exists. Integraatio puolestaan liittyy kokonaisarvon määrittämiseen: Riemannin tai Lebesguein integraali mittaa funktion arvojen "tilavuuden" jonkin alueen yli.

Reaalifunktioita voidaan luokitella eri tavoin: polynomifunktioista ja rationaalisista funktioista algebralliset, trigonometriset ja eksponentiaali- sekä logaritmifunktiot transendentaalisia, sekä näiden yhdistelmät. Myöhemmin otetaan käyttöön kappaleet kuten piecewise-funktiot, jatkuvat versus epäjatkuvat funktiot sekä ominaisuudet kuten monotonisuus, rajoittuneisuus, perioodisuus ja invertibility.

Reaalifunktioiden tutkimus kuuluu reaalianalyysiin, jossa tarkastellaan rajoja, konvergenssia (piste- ja yhtenäinen), sekä differentiaali- ja integraalilaskentaa. Niillä on keskeinen rooli matematiikan sovelluksissa sekä teoreettisessa analyysissä.