potentsiaalteooria

Potentsiaalteooria on matemaatika haru, mis tegeleb potentsiaalide ja nende lahendustena esinevate funktsioonide uurimisega. Keskse rolli mängivad harmoonilised funktsioonid, mis lahendavad Laplace’i operaatoriga seotud võrrandeid. Algne motiiv tuleneb gravitatsiooni ja elektrostatika probleemidest, kuid teooria on laienenud ka analüüsi, tõenäuste ja geomeetria valdkondades.

Olulised mõisted hõlmavad harmoonilisi, subharmoonilisi ja superharmoonilisi funktsioone; Newtoni- ja Riesz-potentsiaale ning Green’i funktsiooni. Peamised võrrandid hõlmavad Poisson’i võrrandit ∆u = f ning piiritingimustega Dirichlet’i ja Neumann’i probleeme. Potentsiaal u võib olla representeeritav kui u(x) = ∫ G(x,y) dμ(y), kus μ on mõõt. Kapasiteet ja energia I(μ) = ∫∫ G(x,y) dμ(x) dμ(y) on võtmetähtsusega nii analüütilises kui geomeetrilises mõttes.

Olulised tulemused puudutavad maksimaalse printsiibi ja keskmise väärtuse omadust, mis kirjeldavad funktsioonide käitumist ruumis. Harnack’i lausete ja piiride regulaarsuse küsimused annavad teavet lahenduste järjepidevuse kohta. Dirichlet’i probleemide lahendused ja potentsiaalide representatsioonid on keskne osa teooria metodoloogiast, mille kaudu ühenduvad analüütilised ja geomeetrilised aspektid.

Potentsiaalteooria on tihedalt seotud tõenäusteadusega, näiteks Brownian motion, ning füüsikaga elektrostatika ja gravitatsiooni kaudu. Samuti mängib see olulist rolli kahes ja eneses mõõtudes, kus potentsiaal võib olla Newtoni potentsiaal (kolmes dimensioonis) või logaritmiline potentsiaal (kaks dimensiooni). Ajalugu hõlmab Newtoni, Laplace’i ja Green’i töid ning 20. sajandi arendust, mis ühendab analüüsi, mõõtmete teooriat ja oskuste arendamist PDE-teoorias.