potenssisarjakehitelmissä

Potenssisarjakehitelmissä, eli potenssisarjojen avulla esitettävissä funktioissa, pyritään esittämään funktio äärettömänä summana termejä, jotka ovat muotoa $c_n (x-a)^n$, missä $c_n$ ovat vakioita ja $a$ on sarjan keskipiste. Potenssisarjat ovat erittäin hyödyllisiä monissa matematiikan ja fysiikan sovelluksissa, koska ne mahdollistavat monimutkaisten funktioiden approksimoinnin ja analysoinnin.

Yksi tunnetuimmista potentiasisarjakehitelmistä on Taylorin sarja. Jos funktiolla $f(x)$ on äärettömän monta derivoituvaa pistessä $a$, sen Taylorin sarja pisteen $a$ ympärillä on muotoa $\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$. Kun sarjan keskipiste $a=0$, sarjaa kutsutaan Maclaurinin sarjaksi. Maclaurinin sarjat ovat erityisen yleisiä ja niitä käytetään laajalti perusfunktioiden, kuten eksponenttifunktion, sini- ja kosinifunktioiden esittämiseen.

Potenssisarjan suppeneminen on keskeinen käsite. Potenssisarjalla on suppenemissäde, jonka sisällä sarja suppenee ja edustaa funktiota. Tämän säteen ulkopuolella sarja hajaantuu. Suppenemissädettä voidaan määrittää esimerkiksi osamäärä- tai juuritestin avulla. Potenssisarjat ovat käytännöllisiä integraalien ja derivaattojen laskemisessa, sillä niitä voidaan integroida ja derivoida termeittäin suppenemisalueellaan.