polynomieyhtälöt

Polynomieyhtälö on yhtälö, jossa yksi tai useampi lauseke on polynomi. Polynomi on lauseke, joka koostuu muuttujista ja kertoimista, ja johon sisältyy vain yhteen-, vähennys- ja kertolaskuja sekä ei-negatiivisia kokonaislukueksponentteja. Yksinkertaisimmillaan polynomieyhtälö on muotoa P(x) = 0, missä P(x) on polynomi.

Polynomieyhtälöitä luokitellaan niiden korkeimman asteen mukaan. Ensimmäisen asteen polynomieyhtälöitä, kuten ax + b = 0, kutsutaan lineaarisiksi yhtälöiksi. Toisen asteen polynomieyhtälöitä, kuten ax^2 + bx + c = 0, kutsutaan neliöllisiksi yhtälöiksi. Korkeamman asteen polynomieyhtälöillä on omat nimensä, mutta yleisesti puhutaan n-asteen polynomieyhtälöistä.

Polynomieyhtälöiden ratkaiseminen tarkoittaa niiden juurien löytämistä, eli niiden muuttujien arvojen selvittämistä, jotka tekevät yhtälöstä toden. Polynomien juurten löytämiseen on olemassa erilaisia menetelmiä. Lineaariset yhtälöt on helppo ratkaista algebrallisesti. Neliölliset yhtälöt voidaan ratkaista esimerkiksi toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Kolmannen ja neljännen asteen polynomieyhtälöille on olemassa myös yleiset ratkaisukaavat, mutta ne ovat huomattavasti monimutkaisempia. Viidennen tai korkeamman asteen polynomieyhtälöille ei yleisesti ole olemassa algebrallista ratkaisukaavaa, vaan niiden juuria etsitään usein numeerisilla menetelmillä.

Polynomieyhtälöillä on merkitystä monilla matematiikan ja tieteen aloilla, kuten geometriassa, fysiikassa ja taloustieteessä, ja ne esiintyvät monenlaisissa ongelmanratkaisutilanteissa.