Polynomieyhtälöillä

Polynomiyhtälö on yhtälö, jossa esiintyy polynomi. Yleisessä muodossaan polynomiyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, missä $x$ on tuntematon muuttuja, $a_i$ ovat vakioita (kertoimia) ja $n$ on ei-negatiivinen kokonaisluku, joka määrää polynomin asteen. Astetta $n$ kutsutaan polynomin korkeimmaksi asteeksi. Polynomin nollakohdat eli juuret ovat ne $x$:n arvot, jotka toteuttavat yhtälön.

Polynomiyhtälöiden ratkaiseminen riippuu niiden asteesta. Ensimmäisen asteen yhtälöt, lineaariset yhtälöt muotoa $ax+b=0$, ovat yleensä helposti ratkaistavissa. Toisen asteen yhtälöt, neliölliset yhtälöt muotoa $ax^2+bx+c=0$, voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöillä on myös yleiset ratkaisukaavat, mutta ne ovat huomattavasti monimutkaisempia.

Algebran peruslauseen mukaan jokaisella $n$ astetta olevalla polynomiyhtälöllä on täsmälleen $n$ kappaletta juuria kompleksilukujen joukossa, kun juuret lasketaan kertaluku huomioon ottaen. Tämä tarkoittaa, että jotkut juuret voivat olla kompleksilukuja ja jotkut juuret voivat esiintyä useammin kuin kerran. Korkeamman asteen polynomiyhtälöiden ratkaisemiseen käytetään usein numeerisia menetelmiä, sillä yleisiä algebrallisia ratkaisukaavoja ei ole olemassa astetta viisi tai korkeampaa oleville polynomiyhtälöille. Polynomiyhtälöillä on sovelluksia monilla tieteen ja tekniikan aloilla, kuten fysiikassa, taloustieteessä ja tietojenkäsittelytieteessä.