Polynomiyhtälöillä

Polynomiyhtälö on yhtälö, jossa esiintyy polynomi. Yleisessä muodossaan polynomiyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, missä $a_i$ ovat kertoimia ja $x$ on muuttuja. $n$ on polynomin aste, joka on suurin eksponentti, jolla muuttujaa korotetaan. Polynomiyhtälöiden ratkaiseminen tarkoittaa niiden juurien tai nollakohtien löytämistä, eli niitä arvoja muuttujalle $x$, jotka toteuttavat yhtälön.

Yksinkertaisimpia polynomiyhtälöitä ovat ensimmäisen asteen yhtälöt, kuten $ax + b = 0$, jotka ovat lineaarisia yhtälöitä ja niillä on aina yksi ratkaisu, kun $a \neq 0$. Toisen asteen yhtälöt, eli neliöyhtälöt, ovat muotoa $ax^2 + bx + c = 0$. Niiden ratkaisemiseen voidaan käyttää neliöyhtälön ratkaisukaavaa. Korkeamman asteen polynomiyhtälöiden ratkaiseminen voi olla huomattavasti monimutkaisempaa.

Algebran peruslauseen mukaan jokaisella $n$-asteisella polynomiyhtälöllä on täsmälleen $n$ kompleksista juurta, kun juuret lasketaan kertalukuaan vastaavasti. Tämä tarkoittaa, että vaikka ratkaisuita ei olisikaan reaalilukujen joukossa, niitä on aina kompleksilukujen joukossa. Polynomiyhtälöiden ratkaisumenetelmiin kuuluvat muun muassa tekijöihin jako, polynomijakolaskun käyttö ja numeeriset menetelmät, jotka antavat likiarvoja ratkaisuille. Polynomiyhtälöitä esiintyy laajasti matematiikan eri aloilla sekä luonnontieteissä ja insinööritieteissä.