polynomieyhtälöistä

Polynomiyhtälö on yhtälö, jossa esiintyy polynomi. Yleisessä muodossaan polynomiyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0, missä a_i ovat kertoimia ja n on epänegatiivinen kokonaisluku, polynomin aste. Polynomiyhtälöiden ratkaisuja kutsutaan juuriksi.

Yksinkertaisin polynomiyhtälö on ensimmäisen asteen yhtälö, eli lineaarinen yhtälö, muotoa ax + b = 0, missä a ja b ovat vakioita ja a ≠ 0. Tämän ratkaisu on x = -b/a. Toisen asteen yhtälö, eli neliöllinen yhtälö, on muotoa ax^2 + bx + c = 0, missä a ≠ 0. Tämän ratkaisut voidaan löytää neliöllisen yhtälön ratkaisukaavalla.

Korkeamman asteen polynomiyhtälöiden ratkaiseminen voi olla monimutkaisempaa. Algebran peruslauseen mukaan jokaisella n-asteen polynomiyhtälöllä on täsmälleen n kappaletta kompleksisia juuria, ottaen huomioon niiden kertaluvut. Joillekin korkeamman asteen polynomiyhtälöille on olemassa yleisiä ratkaisukaavoja, kuten Cardanon kaava kolmannen asteen yhtälöille ja Ferrari'n menetelmä neljännen asteen yhtälöille. Viidennen asteen tai sitä korkeamman asteen polynomiyhtälöille ei kuitenkaan yleistä algebrallista ratkaisukaavaa ole olemassa Abel-Ruffinin lauseen mukaan. Tällöin joudutaan turvautumaan numeerisiin menetelmiin juurien likiarvojen löytämiseksi. Polynomiyhtälöillä on sovelluksia monilla tieteen ja tekniikan aloilla, kuten fysiikassa, taloustieteessä ja tietojenkäsittelytieteessä.