polynomfitning

Polynomfitning är metoden att approximera en funktion eller relation mellan variabler med hjälp av ett polynom av en viss grad. Vanligtvis uttrycks p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + ... + an x^n och målet är att hitta koefficienterna a0,…,an så att polynomet bäst överensstämmer med givna datapunkter (x_i, y_i) i meningen att minimera summan av kvadraterna av residualerna, dvs. sum_i (y_i − p(x_i))^2.

Metoden kallas ofta polynomregression och lösningen erhålls vanligtvis genom minsta kvadraters metod. Parametrarna a0,…,an kan lösas via normalekvationer, eller bättre via numeriska metoder som QR-dekomposition eller singulärvärdesfaktorisering (SVD) för att få en stabil lösning. Valet av polynomets grad n är centralt: för låga n fås en enkel modell som kan sakna känslighet för struktur i data; för höga n kan modellen passa även brus och leda till överanpassning och dålig generalisering. Vid små eller likvärdiga x-värden kan det även uppstå numeriska problem på grund av ill-conditioned Vandermonde-matriser.

För att hantera sådana problem används ofta alternativa baser, t.ex. ortogonala polynom eller regularisering (till exempel ridge regression) för att stabilisera lösningen och hindra överanpassning. Polynomfitning används inom vetenskap och teknik för datafiltrering, trendanalys, kurvpassning i experimentella data och som ett enkelt verktyg för att beskriva samband över ett intervall.

Historiskt är minsta kvadraters metod grundläggande och utvecklades i samband med arbeten av Legendre och Gauss, vilket lade grunden för praktisk polynomfitning och regression.