podprostoru

Podprostor je pojem z matematiky, používaný zejména v lineární algebře a v topologii. Obecně označuje podmnožinu daného prostoru, která sama tvoří prostor s původními operacemi. V každém kontextu se rozlišuje vektorový podprostor a topologický podprostor.

Vektorový podprostor (lineární podprostor) je podmnožina W vektorového prostoru V nad polem F, která je sama vektorovým prostorem s omezenými operacemi. W není prázdný a uzavírá se nad sčítáním i násobením skalárem: pro u,v ∈ W a α ∈ F platí αu ∈ W a u+v ∈ W. Z toho plyne, že 0 ∈ W. Dimenze W je menší nebo rovna dimenzi V. Příklady: množina všech vektorů v R^n s poslední souřadnicí rovnou nule; libovolná linie procházející počátkem. Kernel a obraz lineárního zobrazení f: V → U jsou vždy podprostory V, resp. U; řešení homogenní soustavy Ax = 0 tvoří podprostor řešení.

Topologický podprostor je podmnožina Y ⊆ X vybavená podprostorovou topologií X. Otevřené a uzavřené množiny v Y vznikají jako průniky s otevřenými, respektive uzavřenými, množinami v X. Podprostory jsou důležité pro studium struktur prostorů a pro definování funkcí mezi prostory, které vyžadují zachování topologické struktury.