parametrizációkkal

Parametrizáció vagy paraméteres leírás egy geometriai objektum olyan megadását jelenti, amelyben a tárgy minden pontja egy paraméterekkel megadott függvények által érkezik. A paramétertér a körülírt lehetőségekben általában R vagy R^n, és a metrika szerint lehetővé teszi a pontok sorozatának vagy az objektum különböző részeinek meghatározását. Görbék esetén egy görbe γ: I → R^2 adja meg a pontokat, ahol I egy intervallum; felületek esetén X: D ⊂ R^2 → R^3 a koordinátákat a paraméterekhez rendeli.

A parametrizáció regulárisnak tekinthető, ha a megfelelő ponton a részleges deriváltak (a görbe esetén γ'(t), a felület esetén a ∂X/∂u, ∂X/∂v) lineárisan függetlenek. Ez biztosítja, hogy a lefedés helyes, és nincs helyspecifikus szétfolyás vagy éktelen pont. A reparametrizációval ugyanazon objektum geometriája módosítás nélkül megőrződik: γ ∘ φ vagy X ∘ φ, ahol φ difeomorfizmus a paramétertérben.

Példák: kör felparametrizálása x = r cos t, y = r sin t, t ∈ [0, 2π); ellipse esetén x = a cos t, y = b sin t; egyenes például x = x0 + at, y = y0 + bt. Felületek közé tartozik például a henger X(u,v) = (r cos u, r sin u, v). A polar koordináták és más transzformációk is parametrizációt adnak.

Parametrizáció és implicit formák között gyakran kapcsolódik átjárás: míg a parametrizáció explicit koordinátákat ad meg, addig az implicit leírás egy összefüggést ad meg F(x,y)=0. Számos alkalmazásban kerül elő: számítási integrálok helyes elemzése, tervezés, számítógépes grafika és felületvállalatok modellezése. Reparametrizációk segítenek a kifejezések egyszerűsítésében és a geometriai tulajdonságok megőrzésében.