overlevelsesfunksjon

Overlevelsesfunksjonen, eller survivalsfunksjonen, er et sentralt begrep i overlevelsesanalyse. La T være en positiv tilfeldig variabel som representerer tiden til en hendelse, for eksempel død, maskinfeil eller sykdomsrelapse. Overlevelsesfunksjonen S(t) er definert som S(t) = P(T > t). Den gir sannsynligheten for at hendelsen ikke har inntruffet innen tid t.

Den kumulative fordelingsfunksjonen F(t) = P(T ≤ t) står i motsetning til S(t). For kontinuerte T er S(t) = 1 − F(t) og f(t) = dF/dt er sannsynlighetsdensiteten. S er en ikke-øyende funksjon definert på t ≥ 0, med S(0) = 1 og S(t) → 0 når t → ∞ under vanlige modeller hvor hendelsen kan inntreffe.

Hazardfunksjonen h(t) beskriver den umiddelbare risikoen for at hendelsen inntreffer i tidsintervallet [t, t+dt), gitt at den ikke har inntruffet før t. Den er definert som h(t) = f(t)/S(t). For kontinuerte T kan S(t) uttrykkes som S(t) = exp(−∫0^t h(u) du). Ved konstant Hazard h er S(t) = e^(−ht), og egenskapen memorylessness gjelder for eksponentialfordelingen.

Sammenhengene gir også praktiske egenskaper: E[T] = ∫0^∞ S(t) dt, og S(t) gir hele tidsprofilen av overlevelse. Estimering av S(t) fra data med censorering skjer ofte med Kaplan-Meier-estimatoren, som gir en trinnvis, ikke-negativ funksjon. Overlevelsesfunksjonen brukes bredt i medisin, pålitelighetsanalyse og aktuariell vitenskap for å oppsummere tidsmessige sannsynligheter og effektivt kommunisere prognoser.