ordinaali

Ordinaali on käsite matematiikassa, erityisesti set theoryn piirissä, joka kuvaa järjestyksen rakennetta sen sijaan, että mittaisi kokoa. Kardinaali mittaa määrää, kun taas ordinaali kuvaa järjestyksen muodon ja siten, miten joukon elementtejä voidaan järjestää.

Määritelmä: Ordinaali α on transitiivinen joukko, joka on hyvin järjestetty ∈-relaation mukaan. Tämä tarkoittaa, että β < α määritellään β ∈ α, ja α sisältää vain pienempiä ordinaaleja. Käytännössä ordinaaleja voidaan pitää kaikkien niiden alempien ordinaalien kokonaisuutena: α on joukko, jonka jäsenet ovat itse ordinaaleja ja joiden järjestys vastaa ∈-järjestystä.

Esimerkkejä: 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2} ovat finite ordinaaleja ja vastaavat luonnollisia lukuja. ω on ensimmäinen ääretön ordinaali ja sisältää kaikki finite ordinaalit. Tätä seuraavat ordinaalit kuten ω+1, ω·2 ja ω^2. Näiden jälkeen tulee yhä suurempia ordinaaleja; käsite laajenee transfiniteihin ordinaaleihin.

Ominaisuudet: Jokaisella ordinaalilla on seuraaja S(α) = α ∪ {α} sekä mahdollisuus määritellä käsitteet lisäyksestä, kertolaskusta ja eksponentiaatiosta ordinaaleille. Ominaisuuksien vuoksi ordinaaleja ei voi aina käsittää kuten tavallisia lukuja: monet operaatioista ovat ei-kantaaattomia ja niissä on eroja verrattuna kardinaaleihin. Limit ordinaaleilla ei ole välitöntä edeltäjää.

Käyttö: Ordinaaleja käytetään hyvin järjestettyjen joukkojen tutkimuksessa, transforin induktion ja rekursion määrittelyssä sekä käsitteissä, jotka liittyvät järjestysten luonteeseen ja sarjoihin. Ne muodostavat keskeisen osan perustelemista ja rakenteiden analysointia set theoryn kontekstissa.