optimaalsus

Optimaalsus on matemaatilise optimeerimise keskne mõiste, mis kirjeldab olukorda, kus eesmärkifunktsioon f(x) saavutab maksimaalse või miinimaalse väärtuse lubatud lahendite hulgas. Lahendus x on optimaalne, kui selle väärtust ei ole võimalik antud piirangute alusel parendada. Optimaalsus võib olla globaalse või lokaalse tähendusega: globaalne optimaalsus tähendab parimat võimalikku tulemust kogu lahenduste ruumis, lokaalne optimaalsus aga parimat väärtust mõnes piiratud läheduses asuvas lahendite alamruumis. Üldises mõttes võib optimeerimine olla vaba (unconstrained) või piiratud (constrained), kus piirangud võivad olla võrrandid või võrratused ning neid esitatakse kas lineaarsetena või mittelineaarsetena.

Õiged tingimused optimaalsuse kontrollimiseks sõltuvad probleemi tüübist. Unconstrained probleemi puhul viitab kriitiline punkt gradientide nullile; teise järgu tingimused (Hessiani semi‑definitisus) annavad lisaselgitust. Piirangutega probleemide puhul kasutatakse Lagrange multiplikaatoreid ja sobivaid lisatingimusi. Mitme eesmärgiga optimeerimisel on oluline Pareto optimaalsus: lahendus on Pareto‑optimaalne, kui ühte eesmärki ei saa parandada ilma teisi kahjustamata.

Meetodid ja rakendused: gradientide laskmine (gradient descent), Newtoni meetod ja nende variatsioonid; konveksed probleemid võimaldavad sageli kiireid ja usaldusväärseid lahendusi lineaarprogrammimise ja konveks optimeerimise meetoditega. Optimaalsuse kontseptsioone rakendatakse laialdaselt teaduses ja tehnikas: majandus- ja operatsioonide uuringutes, inseneritegevuses, masinõppes ja andmetöötluses.

Kokkuvõttes kirjeldab optimaalsus otsimise ja hindamise protsessi, mille tulemusel leitakse antud tingimuste parim võimalik lahendus.