opbevaringsfunktioner

Opbevaringsfunktioner er energi-lignende skalære funktioner, der er defineret på tilstanden i et dynamisk system og som kvantificerer den mængde opbevaret energi eller andre ressourcer i systemet. I systemteori betegner en opbevaringsfunktion S(x) en ikke-negativ afbildning, ofte knyttet til tilstanden x, og bruges til at beskrive, hvor meget energi der er lagret i systemet.

I et system med inddata u og uddata y samt dynamik xdot = f(x,u) er en differentiabel opbevaringsfunktion kaldet en opbevaringsfunktion, hvis der langs enhver bane findes et leveringsrate w(u,y), sådan at dS/dt ≤ w(u,y). Når leveringsraten er w(u,y) = u^T y, siges systemet at være dissipativ i forhold til denne leveringsrate.

Egenskaber: S er typisk ikke-negativ, kan være lig med 0 ved et ligevægtspunkt og kan være radielt uendelig. I mange fysiske systemer svarer opbevaringsfunktionen til faktisk energi, f.eks. E = 1/2 L i^2 + 1/2 C v^2 for et elektrisk kredsløb eller S = 1/2 m v^2 + 1/2 k x^2 for et mekanisk oscillator. I lineære systemer har S ofte kvadratisk form S = x^T P x med P positivt definit.

Forholdet til Lyapunov-funktioner: En Lyapunov-funktion er et særligt tilfælde af en opbevaringsfunktion med nul leveringsrate (eller i en stabil tilstand). Dermed er opbevaringsfunktioner et mere generelt begreb, der beskriver energiudveksling med omverdenen og ikke kun intern energi.

Anvendelser: De bruges til at bevise dissipativitet, passivitet og stabilitet, samt i udformningen af controllere og estimatorer. Begrebet optræder i ingeniørvidenskaberne, fysik og systembiologi.