normaaljaotust

Normaaljaotus, ehk Gaussi jaotus, on pidev tõenäosusjaotus, mis on paljude nähtuste mudelina keskne. See on sümmeetriline kellakujuline ja määratud kahe parameetriga: keskmine μ ja standardhälve σ > 0. Tõenäosus tihedusfunktsioon on f(x) = (1/(σ√(2π))) · exp(- (x-μ)²/(2σ²)).

Kogufunktsioon ehk kumulatiivne jaotusfunktsioon on F(x) = Φ((x-μ)/σ), kus Φ tähistab standardse normaaljaotuse koguväärtust. Standardne normaaljaotus N(0,1) tekib kui Z = (X-μ)/σ; Z ~ N(0,1). Täielikku Φ ei esine lihtsa sulguna, vaid selle arvväärtused on toodud tabelites või erifunktsioonide kaudu.

Omadused: normaaljaotus on täielikult määratud kahe parameetriga, on sümmeetriline ümber μ, ning selle oodatud väärtus on E[X] = μ ja variatsioon Var(X) = σ². Žoogus (skewness) on 0 ning ülestõstlikkus (excess kurtosis) on 0; seega on kõverus ja tippus peaaegu ideaalne. Kui X ~ N(μ, σ²), siis lineaarne transformatsioon aX + b on jälle normaaljaotusega: aX + b ~ N(aμ + b, a²σ²).

Oluline teooria on kesk- piiride teoreem, mis näitab, et sõltumatute jaotuste summa või keskmine läheneb normaaljaotusele. See teeb normaaljaotuse mugavaks mudeliks paljude loodusteaduste ja sotsiaalteaduste nähtuste jaoks ning paljudele statistilistele meetoditele, nagu konfiidentsintiibid ja hüpoteesi testimine (nt z-test, t-test).

Mõõtmisel ja uuringutel kasutatakse sageli normaaljaotuse lähendust ning kontrollitakse normaalset eeldust, näiteks Q-Q jooniste ja testidega (Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov).