normaalijakaumasta

Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, jota käytetään kuvaamaan monien luonnonilmiöiden mittausvirheitä sekä suurten lukumäärien summien jakaumaa. Merkitään X:llä ja sanotaan X ~ N(μ, σ^2), missä μ on odotusarvo ja σ > 0 hajonta. Tiheysfunktiona on f(x) = 1/(σ sqrt(2π)) exp(- (x-μ)^2 /(2 σ^2)). Kun μ = 0 ja σ = 1, X on standardinormaali ja Z ~ N(0,1). Sen kertymäfunktio on Φ(z) = ∫_{-∞}^{z} φ(t) dt, missä φ(t) = 1/√(2π) exp(-t^2/2).

Ominaisuudet: normaalijakauma on symmetrinen, unimodaalinen ja määritelty koko reaaliluvun tasolla. Tiheys on suurimmillaan μ:n kohdalla ja lähestyy nollaa äärialueilla. Odotusarvo on μ ja varianssi on σ^2; suurempi hajonta σ laajentaa käyrää.

Standardointi ja sovellukset: Z = (X-μ)/σ nousee N(0,1) -jakauman piiriin. P(X ≤ x) = Φ((x-μ)/σ). Standardinormaalia käytetään epävarmuuden standardointiin sekä z-testeihin.

Merkitys ja käyttö tilastotieteessä: normaalijakaumaa käytetään laajasti inferenssissä ja testauksessa, sekä suurten otosten keskiarvojen ja summien jakaumien mallintamisessa. Parametrien estimointi tapahtuu yleisesti otoskeskiarvon ja otoskivien hajonnan avulla; otoskeskiarvon jakauma on N(μ, σ^2/n) suurilla n. CLT:n mukaan monien riippumattomien summien ja keskimuuttujien jakaumat lähestyvät normaalijakaumaa.

Rajoitteet: todellisuudessa data ei aina noudata normaalijakaumaa, mikä voi heikentää menetelmien pätevyyttä. Tällöin käytetään muunnoksia, muita jakaumia tai robustimpia menetelmiä.