mérhetségét

A mérhetőség a halmazokra és függvényekre vonatkozó alapfogalom a mérték- és σ-algebrás keretek között. Egy halmaz A egy mérhető halmaz egy adott σ-algebrában, ha A rendelve van az adott algebrához. Egy függvény f: X → ℝ mérhető, ha minden valós α után a preimage f⁻¹((α, ∞)) mérhető halmaz X-ben; equivalensen mondható, hogy f⁻¹(B) mérhető minden Borel-halmazra. Ezt a definíciót gyakran úgy adják meg, hogy f⁻¹(U) mérhető minden nyílt vagy zárt U-ra.

Különböző mérhetőségi típusok léteznek. Borel-measurábilis függvények a topologikus keretben mérhetők, míg Lebesgue-measurábilisak a Lebesgue σ-algebrához viszonyítva mérhetők. A jelzőfüggvények és egyszerű függvények általában mérhetők; ha f és g mérhető, akkor a f+g, f·g, illetve g∘f is mérhető.

A mérhetőség kulcsfontosságú az integrálásban és a valószínűségszámításban. Egy mérhető függvény példa lehet egy várható érték kiszámítása vagy egy esemény valószínűségének meghatározása egy valószínűségi térben. Egyes konvergencia-tételek (például monotone vagy dominált konvergencia) is a mérhetőséghez kötődnek.

Megjegyzésként érdemes megkülönböztetni a mérhetőséget a folytonosságtól: a mérhetőség csak annyit jelent, hogy a megfelelő halmazok mérhetők, nem pedig azt, hogy a függvény értékei folytonosak lennének. A mérhetőség ezért általánosabb és alapvetőbb fogalom sok területen.