målefunktioner

Målelige funktioner, ofte omtalt som målefunktioner, er en central idé i måleteori og sandsynlighed. Givet et målerum (X, Σ, μ) er en funktion f: X → R eller X → R ∪ {±∞} målelig hvis for alle åbne mængder U ⊂ R er f^{-1}(U) i Σ. En ofte brugt karakterisation er, at for hvert a ∈ R er mængden {x ∈ X : f(x) > a} i Σ. Når f er målelig, kan den integreres med hensyn til μ (Lebesgue-integration).

Eksempler: Indikatorfunktionen 1_A er målelig hvis A ∈ Σ. Simple funktioner og skridt-funktioner, altså f = ∑ c_i 1_{A_i} med A_i ∈ Σ, er målelige. I praksis tales der ofte om Lebesgue-målelige funktioner, som er målelige i forhold til Lebesgue-målingen på X eller på R.

Vigtige egenskaber: Produktet og summen af målelige funktioner er målelige, ligesom skalarer multiplicerer, så αf også er målelig. Hvis f er målelig og φ: R → R er Borel-målelig, så er φ∘f målelig; særligt bevares målelighed ved alle kontinuerte φ.

Anvendelser: Målelige funktioner danner grundlaget for Lebesgue-integrationen, sandsynlighedsteori og forskellige convergence-teoremer som monotone- og dominerende konvergens. De giver også rammerne for praktiske konstruktioner af funktioner afrundet af målte mængder og later omkring grænser og integralberegning.