monomorfizmem

Monomorfizm (często nazywany mono) to jeden z podstawowych pojęć w teorii kategorii. Morfizm f: A → B nazywa się mono, jeśli dla każdego obiektu X i każdej pary morfizmów g1,g2: X → A zachodzi, że f ∘ g1 = f ∘ g2 implikuje g1 = g2. W ten sposób mono odgrywa rolę „wstawnego” morfizmu, który nie umożliwia rozróżniania dwóch różnych źródeł po jego złożeniu z nich.

Intuicyjnie monomorfizmy odpowiadają wstrzykiwalnościom w kontekście różnych kategorii. W kategorii Set funkcja f: A → B jest mono dokładnie wtedy, gdy jest funkcją wstrzykującą (iniekcją). W innych kategoriach definicja pozostaje ogólna, a własności mono mogą odzwierciedlać różne rodzaje „osadzania” obiektów w obiekcie docelowym, bez konieczności istnienia odwrotności.

Mono jest jednym z dwóch podstawowych rodzajów morfizmów obok epimorfizmu; izomorfizmowieść w teorii kategorii często rozpatruje się jako morfizm będący zarówno mono, jak i epi. W ogólności nie zawsze mono i epi prowadzą do izomorfizmu; w kategoriach balansowych (takich jak Set) bycie jednocześnie mono i epi wystarcza, by morfizm był izomorfizmem, lecz nie w każdej kategorii.

Przykłady: w kategorii Grupy monomorfizmy to injektywne homomorfizmy, w kategorii Modulów nad pierścieniem R – również injektywne homomorfizmy, a w kategorii topologicznej TopMono odpowiadają często wstrzykiwaniom topologicznym (embeddings) z odpowiednimi strukturami topologicznymi.

Terminologia: w polskim piśmiennictwie używa się zarówno terminu monomorfizm, jak i skrótu mono; w praktyce bywa także mówione o „wstrzykiwaniu” w kontekście konkretnych kategorii.