momenttimäärän

Momenttimäärä on tilastotieteessä käytetty termi, jolla viitataan satunnaismuuttujan momentteihin. Momentit ovat odotusarvoja, joiden avulla voidaan kuvailla muuttujan arvojen jakaumaa ja muodon piirteitä. Momenttimäärä voidaan määritellä kahdella päätyypillä: ei-keskitetty (non-central) momentti ja keskitetty momentti.

Ei-keskitetty momentti of order m, denoted μ′m, on μ′m = E[X^m], olettaen että odotusarvo E[|X|^m] on finite. Se kertoo, kuinka voimakkaasti muuttuja ottaa suuria arvoja potenssien muodossa.

Keskitetty momentti of order m, denoted μm, on μm = E[(X − μ)^m], missä μ = E[X]. Keskitetyt momentit mittaavat hajontaa ja muodon piirteitä. Tärkeimmät ovat μ1 = 0 ja μ2 = Var(X). Kolmas keskitetty momentti μ3 liittyy muodon vinouteen (skewness) ja neljäs μ4 liittyy kurtoosiin (kurtosis).

Esimerkki: Standardi normaalijakauma Z ~ N(0,1) on mielenkiintoinen tapaus – ei-keskitetyt momentit ovat μ′k = E[Z^k], joista luvut ovat 0, kun k on pariton, ja (k−1)!!, kun k on pariton; esimerkiksi μ′2 = 1 ja μ′4 = 3.

Momenttien generating function, MX(t) = E[e^(tX)], kokoaa kaikki momentit: MX^(n)(0) = μ′n, edellyttäen, että funktio on määritelty ympäristössä 0. Momenttien avulla voidaan hahmottaa jakauman ominaisuuksia ja, joissain tapauksissa, määritellä kokonaan jakauma.

Sovelluksina momentit kuvaavat keskiarvoa, varianssia sekä jakauman muodon piirteitä, kuten vinoutta ja kurtosis. Niiden avulla voidaan vertailla jakaumia ja tehdä tilastollisia estimointeja. Huomioitavaa on, että fysiikassa termi momentti viittaa usein vääntöön (torque), joten konteksti erottelee tilastolliset momentit fyysisistä momenteista.