matrikfaktorn

Matrikfaktorn är termen som betecknar en faktor i en faktorisering av en matris, där den slutliga produkten av faktorerna ger den ursprungliga matrisen. I linjär algebra används matrisfaktoriseringar för att underlätta beräkningar och analys av matriser. Denna breda idé omfattar flera olika standardformer, till exempel LU-faktorisering, QR-faktorisering och SVD-faktorisering.

Vanliga matrikfaktorer inkluderar LU-faktorisering, där en matris A skrivs som A = P^{-1} L U eller PA = LU med en permutationsmatris P. QR-faktorisering skriver A som A = Q R där Q är ortogonal och R är övre triangulär. För symmetriska positiva definierade matriser används Cholesky-faktorisering A = L L^T. Den allmänna SVD-faktoriseringen uttrycker A som A = U Σ V^T, där Σ är diag av singulärvärden.

Existensvillkoren varierar mellan metoderna. LU-faktorisering med pivotering finns ofta för icke-singulära matriser under lämpliga villkor; QR-faktorisering existerar alltid för varje m×n-matris. Cholesky kräver att A är symmetrisk och positivt definerad (SPD); SVD finns alltid för varje reell eller komplex matris.

Användningar inkluderar lösning av linjära system Ax = b, beräkning av inverser och determinanter via faktorerna, samt förbättrad numerisk stabilitet genom pivotering. Faktoriseringar underlättar även minst-kvadraters problem, conditioning och beräkningar av egenvärden i vissa sammanhang.

Se även: determinanten, LU-faktorisering, QR-faktorisering, Cholesky-faktorisering, SVD.