matriisipolynomissa

Matriisipolynomi on polynomi, jonka kertoimet ovat matriiseja. Sitä voidaan tarkastella funktiona, joka ottaa matriisimuuttujan ja palauttaa matriisin. Matriisipolynomin yleinen muoto on P(A) = c_n A^n + c_{n-1} A^{n-1} + ... + c_1 A + c_0 I, missä A on neliömatriisi, c_i ovat kertoimia (jotka voivat olla lukuja tai matriiseja), A^k tarkoittaa matriisin A kertomista itsellään k kertaa, ja I on identiteettimatriisi. Jos kertoimet c_i ovat lukuja, kyseessä on skalaarikertoiminen matriisipolynomi. Jos kertoimet ovat myös matriiseja, puhutaan matriisikertoimisesta matriisipolynomista. Matriisipolynomin laskeminen edellyttää matriisikertolaskua ja matriisien yhteenlaskua. Matriisipolynomit ovat tärkeitä lineaarialgebrassa ja sen sovelluksissa, kuten esimerkiksi matriisiyhtälöiden ratkaisemisessa ja matriisifunktioiden määrittämisessä. Cayley-Hamiltonin lause on merkittävä tulos, joka liittyy matriisipolynomeihin ja matriisien karakteristiseen polynomiin. Sen mukaan jokainen neliömatriisi toteuttaa oman karakteristisen polynominsa, mikä tarkoittaa, että sen avulla voidaan ilmaista korkeamman kertaluvun matriisipotenssit matalampien kertalukujen potensseina. Matriisipolynomien tutkimus laajenee myös moniulotteisiin tapauksiin ja yleisempiin algebrallisiin rakenteisiin.