Matriisipolynomien

Matriisipolynomit ovat polynomeja, joiden kertoimet ovat matriiseja ja muuttuja on neliömatriisi. Yleinen matriisipolynomi voidaan esittää muodossa $P(A) = c_n A^n + c_{n-1} A^{n-1} + \dots + c_1 A + c_0 I$, missä $A$ on neliömatriisi, $c_i$ ovat skalaarilukukertoimia, $A^k$ tarkoittaa matriisin $A$ kertomista itsellään $k$ kertaa, ja $I$ on identiteettimatriisi. Polynomin $P(x) = c_n x^n + \dots + c_0$ matriisiversio saadaan korvaamalla muuttuja $x$ matriisilla $A$ ja skalaarikertoimet $c_i$ matriisikertoimilla (joskus käytetään myös täysin matriisikertoimia, mutta useimmiten ne ovat skalaareja).

Matriisipolynomien tutkiminen liittyy läheisesti matriisiteoriaan ja lineaarialgebraan. Niitä käytetään esimerkiksi matriisien ominaisarvojen ja ominaisvektorien laskemisessa, sekä matriisien diagonalisoinnissa. Cayley-Hamiltonin lause on tärkeä tulos matriisipolynomien teoriassa; se toteaa, että jokainen neliömatriisi toteuttaa oman karakteristisen polynominsa. Tämä tarkoittaa, että jos $p(\lambda)$ on matriisin $A$ karakteristinen polynomi, niin $p(A) = 0$, missä 0 on nollamatriisi.

Matriisipolynomien laskutoimitukset, kuten yhteen- ja kertolasku, noudattavat samoja periaatteita kuin tavallisten polynomien laskutoimitukset, mutta matriisikertolasku ei yleensä ole vaihdannainen, joten laskujärjestyksellä on merkitystä. Matriisipolynomien juuret tai nollakohdat ovat ne matriisit, jotka tekevät polynomin arvon nollamatriisiksi. Näiden löytäminen voi olla haastavaa.