Matriisipolynomin

Matriisipolynomi on polynomi, jonka kertoimet ovat matriiseja ja jonka muuttujana on neliömatriisi. Se on siis muotoa P(A) = c_n A^n + c_{n-1} A^{n-1} + ... + c_1 A + c_0, missä A on neliömatriisi, c_i ovat matriisikertoimia ja A^k tarkoittaa matriisin A kertomista itsellään k kertaa. Yksittäiset kertoimet c_i voivat olla myös skalaareja, jolloin ne kerrotaan yksikkömatriisilla I, eli c_0 = c_0 I.

Matriisipolynomien laskenta noudattaa samoja sääntöjä kuin tavallisten polynomien laskenta, mutta matriisikertolasku ei ole vaihdannainen. Esimerkiksi matriisiyhtälö A^2 - 2A + I = 0 on matriisipolynomin P(A) = 0 juuri. Tässä tapauksessa polynomi on P(x) = x^2 - 2x + 1.

Matriisipolynomit ovat tärkeitä lineaarialgebrassa ja sen sovelluksissa. Ne liittyvät läheisesti matriisien ominaisarvoihin ja ominaisvektoreihin. Esimerkiksi Cayleyn-Hamiltonin lauseen mukaan jokainen neliömatriisi toteuttaa oman karakteristisen polynominsa, mikä on keskeinen tulos matriisiteoriassa. Matriisipolynomeja käytetään myös esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ja graafiteoriassa.