matatriisi

Matriisi on kaksiulotteinen taulukko, jossa on rivejä ja sarakkeita. Yleisesti merkitään A ∈ F^{m×n}, ja sen i:nnen rivin j:nnen sarakkeen alkio on a_{ij}. Luvut voivat olla todellisia tai kompleksisia. Matriisit ovat keskeisiä lineaarialgebrassa ja sovelluksissa kuten grafiikassa ja tilastotieteessä.

Peruslaskut: Matriisien summa ja ero määritellään vastaavien alkioiden mukaan. Skaalarikertolasku cA jakaa jokaisen alkion. Matriisikertolasku AB on määritelty, kun A on m×n ja B on n×p; tulos on m×p ja (AB)_{ij} = ∑_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. Transpoosi A^T vaihtaa rivit ja sarakkeet. Erilaisia erikoismatriiseja: neliömatriisi, diagonaalimatriisi, identiteettimatriisi I_n, symmetrinen A^T = A ja ortogonaalinen A^T A = I.

Inversio, determinantti ja rank: Neliömatriisilla A on käänteisluku A^{-1} jos det(A) ≠ 0. Determinantti det(A) kertoo kääntevyydestä ja tilavuuksista. Rank määrittää, kuinka monta lineaarisesti riippumatonta riviä tai saraketta matriisissa on. Eigenarvot ja eigenvektorit ratkaisevat Av = λv; diagonalisaatio A = P D P^{-1} toteutuu, jos P on kääntyvä. Reaalisille symmetrisille matriiseille arvot ovat real ja ominaisvektorit voidaan valita ortogonaalisiksi.

Käyttökohteet: Lineaaristen järjestelmien ratkaisut Gaussin eliminaatiolla, muunnokset grafiikassa ja kuvatuksessa, tilastotiede ja koneoppiminen (kovarianssimatriisi, PCA) sekä muut sovellukset, joissa suuria luvunsarjoja käsitellään matriisimuodoissa. Historia: Termi matrix on peräisin James Joseph Sylvesterin 1800-luvun töistä; Cayley kehitti ja vakiinnutti käytäntöjä. Nykyisin matriisit ovat keskeinen käsite lineaarialgebrassa ja sen sovelluksissa.