lognormalfördelningen

Lognormalfördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning för en slumpvariabel vars logaritm är normalfördelad. Om slumpvariabeln X följer en lognormalfördelning, så följer logaritmen av X, vanligtvis den naturliga logaritmen ln(X), en normalfördelning. Fördelningen är endast definierad för positiva värden, vilket gör den lämplig för att modellera variabler som inte kan vara negativa, till exempel inkomster, aktiepriser eller storleken på partiklar i ett material.

En lognormalfördelning kännetecknas av två parametrar, motsvarande medelvärdet (μ) och standardavvikelsen (σ) för den underliggande normalfördelningen av logaritmen. Dessa parametrar bestämmer formen och placeringen av fördelningen. Fördelningen är alltid positivt sned, vilket innebär att svansen sträcker sig längre åt höger än åt vänster. Detta återspeglar ofta verkliga fenomen där det finns ett golv för värdet men ingen övre gräns.

Formeln för sannolikhetstäthetsfunktionen för en lognormalfördelning X är:

f(x; μ, σ) = (1 / (x * σ * sqrt(2π))) * exp(-(ln(x) - μ)² / (2σ²)) för x > 0.

Formeln för den kumulativa fördelningsfunktionen är:

F(x; μ, σ) = 0.5 * [1 + erf((ln(x) - μ) / (σ * sqrt(2)))].

Tillämpningar av lognormalfördelningen finns inom många områden, inklusive ekonomi (för att modellera inkomstfördelningar och finansiella tillgångars priser), biologi (för att modellera populationsstorlekar och partikelstorlekar), miljövetenskap (för att modellera föroreningsnivåer) och ingenjörsvetenskap. Dess förmåga att hantera positivt sneda data gör den till ett värdefullt verktyg inom statistisk modellering.