käänteismatriiseista

Käänteismatriisi on neliömatriisi, jolle on olemassa toinen neliömatriisi siten, että niiden tulo on yksikkömatriisi. Jos A on neliömatriisi ja B on matriisi siten, että AB = BA = I, missä I on yksikkömatriisi, niin B on A:n käänteismatriisi. Käänteismatriisia merkitään usein A⁻¹. Käänteismatriisi on olemassa vain, jos matriisin determinantti on nollasta poikkeava. Matriisi, jolle käänteismatriisi on olemassa, on kääntyvä tai singulaariton matriisi.

Käänteismatriisia käytetään useiden matemaattisten ja laskennallisten ongelmien ratkaisemisessa. Yksi yleisimmistä käyttökohteista on lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen. Jos yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa Ax = b, missä A on kerroinmatriisi, x on tuntemattomien vektori ja b on vakiotermi, niin ratkaisu x voidaan löytää kertomalla molemmat puolet A:n käänteismatriisilla: x = A⁻¹b. Tämä edellyttää, että A on kääntyvä.

Käänteismatriisin laskemiseen on olemassa useita menetelmiä, kuten Gauss-Jordanin eliminointi tai adjungaatin ja determinantin avulla. Gauss-Jordanin eliminointi on yleinen numeerinen menetelmä, jossa matriisi A yhdistetään yksikkömatriisiin I ja suoritetaan rivioperaatioita, kunnes A muuttuu yksikkömatriisiksi. Samat rivioperaatiot A:lle sovellettuna muuttavat I:n A⁻¹:ksi. Toinen menetelmä hyödyntää adjungaattimatriisia ja determinanttia.