koszinusztételt

A koszinusztételt, ismert még mint a koszinusz-tétel vagy a harmadik cosinus-tétel, a trigonometria egyik alapvető tétele. Ez a tétel kapcsolatot teremt egy háromszög két oldalának hosszúsága, a köztük lévő szög koszinusza, és a harmadik oldal hosszúsága között.

Legyen adott egy tetszőleges háromszög, melynek oldalait $a$, $b$, és $c$ jelöljük, a megfelelő oldalak szemközti szögei pedig legyenek rendre $\alpha$, $\beta$, és $\gamma$. A koszinusztétel kimondja, hogy a következő összefüggések teljesülnek:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$

A tétel lényegében a Pitagorasz-tétel általánosítása. Ha a háromszög egyik szöge derékszög (például $\gamma = 90^\circ$), akkor $\cos(90^\circ) = 0$, és a tétel $c^2 = a^2 + b^2$ alakot ölti, ami a Pitagorasz-tétel.

A koszinusztételt széles körben alkalmazzák a geometriában, navigációban, fizika problémák megoldásában, és minden olyan területen, ahol háromszögek elemzése szükséges. Használható hiányzó oldal vagy szög kiszámítására, ha ismerünk elegendő más adatot a háromszögről.