kontaktgeometrien

Kontaktgeometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das sich mit Kontaktstrukturen auf glatten Mannigfaltigkeiten befasst. Eine Kontaktstruktur ξ ist eine hyperflächenverteilun g von Kodimension 1, die vollständig nicht-integrierbar ist. Gleichbedeutend lässt sich ξ als Kernel einer 1-Form α schreiben, sodass ξ = Ker α und α ∧ (dα)^n ≠ 0 gilt (M hat Dimension 2n+1). Die 1-Form α heißt Kontaktform; verschiedene Kontaktformen, die dasselbe ξ definieren, unterscheiden sich nur durch Multiplikation mit einer positiven Funktion.

In der lokalen Struktur liefert das Darboux-Theorem die Standardform: In der Umgebung eines jeden Punktes existieren Koordinaten, in denen α = dz − ∑ y_i dx_i gilt, so dass ξ = Ker α zu diesem lokalen Modell gehört. Folglich sind Kontaktgeometrien lokal äquivalent, weltweite Unterschiede sind durch globale topologische Invarianten bedingt. Ein zentrales Objekt ist der Reeb-Vektor R, definiert durch α(R) = 1 und dα(R, ·) = 0; R erzeugt oft charakteristische Flüsse, die in der Kontakt-Dynamik auftreten.

Beziehungen bestehen zur Symplektik: Die Symplektisierung (M × R, d(e^t α)) verleiht der Kontaktgeometrie eine zugehörige symplektische Struktur. Wichtige Konzepte in der Praxis sind Legendrian-Submanifolds (Tangenten zu ξ) und transversale Knotensituationen. In drei Dimensionen führt die Giroux-Korrespondenz zwischen Kontaktstrukturen, offenen Büchern und Monodromen zu tiefgreifenden Anwendungen in der 3-Mannigfaltigkeits-Theorie.

Existenz und Beispiele: Auf vielen glatten Manifolds existieren Kontaktstrukturen; insbesondere existiert auf jeder orientierbaren geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit eine Kontaktstruktur. Kontaktgeometrie ist damit der odd-dimensionale Gegenpol zur Symplektik und bildet eine zentrale Grundlage für weiterführende Entwicklungen wie Kontakthomologie und dynamische Systeme.